Estadistica

La estadística es la parte de las matemáticas que se ocupa de los métodos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis.

Población

Una población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos que presentan características comunes.

Destacamos algunas definiciones:

"Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones". Levin & Rubin (1996).

El tamaño que tiene una población es un factor de suma importancia en el proceso de investigación estadística y en nuestro caso social, y este tamaño vienen dado por el número de elementos que constituyen la población, según el número de elementos la población puede ser finita o infinita. Cuando el número de elementos que integra la población es muy grande, se puede considerar a esta como una población infinita, por ejemplo; el conjunto de todos los números positivos.

Muestra 

Los expertos en estadística recogen datos de una muestra. Utilizan esta información para hacer referencias sobre la población que está representada por la muestra. En consecuencia muestra y población son conceptos relativos. Una población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo. El proceso de obtener la muestra de denomina MUESTREO.

"Una muestra es una colección de algunos elementos de la población, pero no de todos". Levin & Rubin (1996).

Por ejemplo estudiamos los valores sociales de una población de 5000 habitantes aprox., entendemos que sería de gran dificultad poder analizar los valores sociales de todos ellos, por ello, la estadística nos dota de una herramienta que es la muestra para extraer un conjunto de población que represente a la   y sobre la muestra realizar el estudio. Una muestra representativa contiene las características relevantes de la población en las mismas proporciones que están incluidas en tal población.

Variables estadísticas 

Ecuaciones Cuadráticas

La ecuación cuadrática es una ecuación polineal que se manifiesta de esta forma: 

Ejemplo

9x² + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x²  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x ² + 10              a = -6, b = 0, c = 10 



Resolución por formula Carnot 

Ejemplo: 

Rectas en el plano cartesiano

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele estar representada por la letra , y está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta.

Si una recta pasa por dos puntos distintos , entonces sus pendiente m esta dada por esta ecuación :

Formas de la ecuación de una recta

Forma ordinaria de la ecuación de una recta: La ecuación de la recta se expresa en términos de la pendiente m y la ordenada al origen b, de  la siguiente manera:

y = mx + b 

Si la pendiente m es positiva obtenemos una recta creciente y  si m es negativa obtenemos una recta decreciente.

 De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta

AX + By + C = 0

Pendiente de la recta: 

 Ahora digamos que uno de esos puntos es un punto genérico (x, y), lo cual significa que puede ser cualquier punto en la recta, y el otro punto es un punto específico, .

Si sustituimos éstas coordenadas en la fórmula, obtenemos . Ahora podemos manipular un poco la ecuación al multiplicar ambos lados de la fórmula por . 

Que se simplifica a        .

Numeros reales

Se iniciará definiendo el conjunto de números que conforman a los números reales, en
la siguiente figura se muestra la forma en la que están contenidos estos conjuntos de
números.

Números enteros Z

Son los números reales que se denotan por Z ; así que se escribe

Z = {...,−2,−1,0,1,2...}

Números racionales Q

Los números racionales son los números reales que se pueden expresar como razón de
dos enteros. Se denota el conjunto de los números racionales por Q , así que

Q = {  x / x = p/q donde x = p ∈ Z , q ∈ Z }

Por otro lado, su desarrollo decimal es finito o infinito periódico.

Números naturales N

También conocidos como números para contar o enteros positivos.

N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}

Números Irracionales I

Son los números que no pueden expresarse como un cociente de enteros y su desarrollo
decimal es infinito no periódico.

√2 = 1.41421356    π = 3.14159265

Ejercicios:

Interes Compuesto

La noción de interés compuesto se refiere al beneficio (o costo) del capital principal a una tasa de interés durante un cierto periodo de tiempo, en el cual los intereses obtenidos al final de cada periodo no se retiran, sino que se añaden al capital principal. Por lo tanto, los intereses se reinvierten.
                                                

C  = Capital inicial, valor presente  

M = Monto 

R = Tasa de interés del periodo 

N = Numero de periodos de capitalización 

0 en forma equivalente:

C  = Capital inicial 
M  = Monto 
R  = Tasa de interés anual  
T  = Tiempo 
K =Numero de capitalización por año 

Ejercicios : 

Ejercicio Nº 1

Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.
 
Resolución: 
 
Aplicando la fórmula 

Reemplazamos con los valores conocidos:

En tasa de interés compuesto 

Capital inicial 

Tiempo en años (t) = 5

Ejercicio Nº 2

Digamos que pretendemos tener $2.000.000 dentro de 5 años. Si el banco paga una tasa de 10% anual ¿cuánto necesitamos como capital inicial?

Aplicando la fórmula 

Reemplazamos con los valores conocidos:

Capital final (Cf) = 2.000.000
Tasa de interés compuesto  

Tiempo en años (t) = 5

Reemplazamos con los valores conocidos:

Respuesta:

Un capital inicial de $ 1.241.842,64 crecerá hasta $ 2.000.000 si lo invertimos al 10% durante 5 años.

Intervalos e Inecuaciones lineales

Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta.

Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se
incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos.
Para representarlos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye.

En los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo <  o  >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo  (mayor o igual, o menor o igual).

Por otra parte, los intervalos se pueden representar en forma de conjunto o con corchetes:

Ejemplo:

 Todos los reales comprendidos entre a y b, sin  incluir a, ni b.
 Todos los reales mayores que a, sin incluir a.
 Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n.

Observa el esquema:

Propiedades de las desigualdades

 Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: 

                a < b            / ± c
         a ± c < b ± c

ejemplo
              2 + x  >  16          / – 2
                    x  >  14

Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

           a < b            / • c (c > 0)
       a • c < b • c  

                                                 a > b             / • c (c > 0)
                                            a • c > b • c

Ejemplo
                3  5 • x   / :5
                3/5  x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

        a < b              / • c (c < 0)
    a • c > b • c

a > b / • c (c < 0)
a • c < b • c

Ejemplo   15 – 3• x  39      / -15
                    - 3• x  39 – 15           /: -3
                         x  24: (-3)
                         x  - 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que -8.

Inecuaciones de primer grado
Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven aplicando inversos aditivos (opuestos) o  inversos multiplicativos (recíprocos) para despejar la incógnita. Conviene dejar positivo el coeficiente de la incógnita.

A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6

Método 1:
Primero sumemos –3x a ambos lados
                x – 3x – 2 < – 6        
sumemos 2 en ambos lados
               x – 3x < 2 – 6
multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3

                   -2x < -4        
                      x > 2     Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo.

Método 2:
                x – 2 < 3x – 6        
Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados
                     -2 < 3x – x – 6
Sumamos  6 en ambos lados
                    -2 <  2x – 6

Conjuntos

Sinónimo de agrupación. Los elementos dentro de esta son denominados elementos. Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas y los elementos con minúsculas.

El cardinal de un conjunto (n) es el número de elementos que posee.

Existen varios tipos de determinación de un conjunto:

• Por extensión: Se nombran explícitamente los elementos del conjunto.
• Por comprensión: Se nombran las propiedades que caracterizan los elementos de un conjunto.

A continuación se nombraran las diferentes clases de conjuntos:

• Conjuntos Vacío: No posee elementos { }.
• Conjunto Unitario: Consta de un solo elemento.
• Conjunto Finito: Tiene un limitado número de elementos que pueden ser enumerados por extensión.
• Conjunto Infinito: Tiene una ilimitada cantidad de elementos que pueden ser determinadas por comprensión.
• Conjunto Universal: Contiene todos los elementos de una situación en particular U

Ejercicios:

1 - En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios idiomas fueron los siguientes: Español 28, Alemán 30, Francés 42, Español y Alemán 8, Español y Francés 10, Alemán y Francés 5 y los tres idiomas 3. 
a) ¿Cuántos alumnos no estudiaban idiomas? 
b) ¿Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio?

2 - De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B y C; se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las 3 revistas; todos, menos 40, leen A; 15 leen A y B pero no C, 6 leen B y C pero no A; 10 leen sólo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el número de los que leen solamente A.

Interes Simple

Para  poder hallar el interés y el monto hay dos formulas que son:

                        I = C.t.r                                           M = C + I 

 I  = interés

C  = capital o valor presente

T = tiempo 

R = tasa de interés anual o crédito

M = monto o valor futuro 

  

Ejemplo: 

1- Angela pidió un préstamo  de $1500 a 9 meses a una tasa de interés del 8%. ¿Cuánto pagara Angela en intereses por el préstamo?

PASO 1 Hay que convertir el porcentaje a decimal.   8%  = .08

PASO 2 El tiempo debe expresarse en años. En este caso 9 meses equivale a 3/4 año, eso es lo mismo a .75

PASO 3 Multiplique las tres variables  principal x tasa x tiempo   1500 x .75 x .08 = $90

2 - Calcular el interés simple producido por 30.000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.

Resolución:

Aplicamos la fórmula

 pues la tasa se aplica por días.

Que es igual a I = C • i • t

En la cual se ha de expresar el 5 % en tanto por uno, y se obtiene 0,05

Respuesta

El interés simple producido al cabo de 90 días es de 369,86 pesos

Porcentajes

Tanto por cuanto

- Determina que tanto representa una cantidad con respecto de un todo llamado cuanto

A por B de C = A/B x C 

Tanto por ciento 

Es decir dividir al todo en 100 partes iguales

A por 100 de N = A% de N = A/100 x N

Porcentaje de porcentaje 

A% del B% del...... del  M% de N = A/100 x B/100 x ........ x M/100 x N

Problemas de compra y venta

Cuando exista perdida: 

P.V = P.C - P 

P.V: Precio de venta 

P.C: Precio de costo 

P: Perdida 

Cuando exista ganancia:

P.V= P.C + G  

G: Ganancia 



Ejercicios: 

Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica dicha cantidad por el porcentaje y se divide por 100.

El 20% de 50 = (50 x 20) / 100 = 10

Veamos otros ejemplos:

Calcular el 15% de 200:

(200 x 15) / 100 = 30

Calcular el 25% de 8:

(8 x 25) / 100 = 2

Calcular el 60% de 120:

(120 x 60) / 100 = 72

Razones y Proporciones

Razones y Proporciones 

Razones

Donde:

a : Antecedente

b: Consecuente

r : Valor de razón aritmética

K: valor de la razón geométrica

Observaciones:

• La razón geométrica es la que tiene mas uso en el desarrollo de este curso, de modo que si indicamos la razón y no su clase entenderemos que es una razón geométrica
• Las comparaciones también las podemos dar para mas de 2 cantidades , por ejemplo tres números se encuentran en la misma relación que los números 6,10 y  14

Donde:

a: Antecedente

b: Consecuente

r : Valor de razón Aritmética

k: valor de la razón Geométrica

Proporción

Es la igualdad  de dos razones de una misma clase y que tienen el mismo valor

PROPORCIÓN ARITMÉTICA

Una "proporción aritmética" es una expresión de la relación de igualdad entre 2 razones aritméticas. 

a - b = c - d

Donde:
           a  y d son los términos extremos.
           b y c son los términos medios.

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

En todo proporción geométrica se cumple, que el producto de sus términos medios es igual al producto de sus términos extremos

• 
  
• 
  
• Proporción discreta:
• Es aquella, en la cual sus  4 términos de la proporción son diferentes.
• 
  Donde: a, b, c, y d se llaman cuarta proporcional.
   Proporción continua:
  Es aquella proporción, en la cual sus términos medios de la proporción son iguales.
  
  Donde:
  

Ejercicios:

1- Se reparten libros de cuentos entre dos niños de 8 y 5 años en forma proporcional a sus edades. ¿Cuántos libros de cuentos le tocan a cada uno si el mayor recibe 9 libros más que el menor? ¿Cuántos libros se repartieron?.

"Se reparten libros de cuentos entre dos niños de 8 y 5 años en forma proporcional a sus edades."

Cantidad de libros que recibe:
El niño de 5 años: 5k
 El niño de 8 años: 8k


"¿Cuántos libros de cuentos le tocan a cada uno si el mayor recibe 9 libros más que el menor?"

 8k = 5k + 9

 3k = 9

k = 3

Cantidad de libros que recibe:
 el niño de 5 años: 5k = 5(3) = 15
 el niño de 8 años: 8k = 8(3) = 24


"¿Cuántos libros se repartieron?."
    15 + 24 = 39

2- Determine 2 números tales que si a cada uno le agregamos 7 unidades, el resultado está en la razón 3:2; pero si le restamos 5 unidades el resultado está en la razón 5:2"

 Sean los numeros a,b

"Determine 2 números tales que si a cada uno le agregamos 7 unidades, el resultado está en la razón 3:2"

 (a+7)/(b+7) = 3/2

 2(a+7) = 3(b+7)

 2a - 3b = 7

"si le restamos 5 unidades el resultado está en la razón 5:2"

 

(a-5)/(b-5) = 5/2

 2(a-5) = 5(b-5)

 2a - 5b = -15

Tenemos el siguiente sismtema de ecuaciones
 2a - 3b = 7
 2a - 5b = -15


Resolviendo tenemos que:
 a = 20
 b = 11