Intervalos e Inecuaciones lineales

Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta.

Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se
incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos.
Para representarlos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye.

En los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo <  o  >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo  (mayor o igual, o menor o igual).

Por otra parte, los intervalos se pueden representar en forma de conjunto o con corchetes:

Ejemplo:

 Todos los reales comprendidos entre a y b, sin  incluir a, ni b.
 Todos los reales mayores que a, sin incluir a.
 Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n.

Observa el esquema:

Propiedades de las desigualdades

 Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: 

                a < b            / ± c
         a ± c < b ± c

ejemplo
              2 + x  >  16          / – 2
                    x  >  14

Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

           a < b            / • c (c > 0)
       a • c < b • c  

                                                 a > b             / • c (c > 0)
                                            a • c > b • c

Ejemplo
                3  5 • x   / :5
                3/5  x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

        a < b              / • c (c < 0)
    a • c > b • c

a > b / • c (c < 0)
a • c < b • c

Ejemplo   15 – 3• x  39      / -15
                    - 3• x  39 – 15           /: -3
                         x  24: (-3)
                         x  - 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que -8.

Inecuaciones de primer grado
Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven aplicando inversos aditivos (opuestos) o  inversos multiplicativos (recíprocos) para despejar la incógnita. Conviene dejar positivo el coeficiente de la incógnita.

A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6

Método 1:
Primero sumemos –3x a ambos lados
                x – 3x – 2 < – 6        
sumemos 2 en ambos lados
               x – 3x < 2 – 6
multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3

                   -2x < -4        
                      x > 2     Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo.

Método 2:
                x – 2 < 3x – 6        
Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados
                     -2 < 3x – x – 6
Sumamos  6 en ambos lados
                    -2 <  2x – 6